29.11.2017







Projekt VMPC:


Badania nad funkcją VMPC i problemem matematycznym "czy P=NP?"
pieknafunkcja.pl



Aplikacja do szyfrowania danych VMPCrypt
szyfrowanie.com



Gra Permutu na bazie funkcji VMPC
permutu.pl







Zobacz także:


Gra komputerowa Urban



Multimedialne kursy do nauki języka angielskiego
ADL Publishing



Blog Nieformalny Bartosza Żółtaka



Matematyczne uzasadnienie, dlaczego nie opłaca się grać w lotto




Do napisania tego przemyślenia zainspirował mnie widok ludzi wydających znaczne kwoty w kolekturach lotto. Człowiek taki kupuje 3 zakłady lotto z plusem w każdym losowaniu. Wydaje na to 12 zł. Czyli 36 zł w tygodniu (3 losowania). To 156 zł miesięcznie i 1872 zł rocznie. Za taką kwotę mógłby kupić pralkę i lodówkę.

Nadzieja wysokiej wygranej zachęca do gry. Ale czy opłaca się grać w lotto? Otóż nie opłaca się!

Gdy kumulacja wynosi 10 milionów, na każdym zakładzie lotto tracimy średnio 1,49 zł.
Gdy dokupujemy opcję "PLUS", tracimy dodatkowe 59 groszy.

Z poniższej tabeli możemy odczytać, ile średnio tracimy lub zyskujemy na każdym zakładzie lotto w zależności od wielkości kumulacji.

Kumulacja  Ile tracisz/zyskujesz na jednym losowaniu 
2.000.000 tracisz  2,06 zł
3.000.000 tracisz  1,99 zł
5.000.000 tracisz  1,85 zł
7.000.000 tracisz  1,70 zł
10.000.000 tracisz  1,49 zł
15.000.000 tracisz  1,13 zł
20.000.000 tracisz  0,77 zł
30.000.000 tracisz  0,06 zł
35.000.000 zyskujesz  0,30 zł
40.000.000 zyskujesz  0,65 zł
 50.000.000  zyskujesz  1,37 zł
PLUS tracisz  0,59 zł

Dlaczego tak jest? To bardzo proste - w tabeli podano wartości oczekiwane wyniku gry w lotto. Wartość oczekiwana mówi nam wprost, czy dana gra nam się opłaca, czy nie. W przypadku lotto - ewidentnie gra nam się nie opłaca!

Jeśli poznałeś pojęcie wartości oczekiwanej na zajęciach ze statystyki, to wszystko jest dla Ciebie jasne.
Ale nawet jeśli nie, to pojęcie to jest tak proste i naturalne (i przydatne w życiu!),
że można je zrozumieć nawet jeśli nie lubi się matematyki!

Wyobraźmy sobie taką grę:

Rzucamy 100 razy monetą. Za każdym razem, gdy wypadnie orzeł, dostajemy 1 zł.
Ale żeby zagrać, musimy zapłacić 60 zł.

Czy opłaca nam się zagrać? Otóż nie!

Na każdej grze (na każdych 100 rzutach) tracimy średnio 10 zł.
Żeby się o tym przekonać, wystarczy policzyć wartość oczekiwaną wyniku gry.

Średnio w co drugim rzucie zyskamy 1 zł (ponieważ prawdopodobieństwo wyrzucenia orła wynosi oczywiście 1/2).
Po 100 rzutach zyskamy więc średnio 50 zł (100 rzutów razy 1/2 razy 1 zł = 50).
Ale za przystąpienie do gry musimy zapłacić 60 zł! Nasza strata wynosi więc 60 - 50 = 10 zł!


Dokładnie tak samo możemy policzyć opłacalność gry w lotto.

Oto dane, jakie są nam potrzebne:

  • Koszt zakładu to 3 zł (PLUS kosztuje 1 zł)
  • Szansa trafienia szóstki (kumulacji) wynosi 1/13.983.816. Jeśli trafimy, wygrywamy kumulację.
    W opcji PLUS wygrywamy natomiast 1.000.000 zł
  • Szansa trafienia piątki wynosi 1/54.201. Za trafienie piątki otrzymujemy 7 tys. zł (zwykle około 6 tys.).
    W opcji PLUS za trafienie piątki wygrywamy 3.500 zł
  • Szansa trafienia czwórki wynosi 1/1.032. Za trafienie otrzymujemy 250 zł (zwykle około 200 zł).
    W opcji PLUS za trafienie czwórki wygrywamy 100 zł
  • Szansa trafienia trójki wynosi 1/57. Za trafienie trójki otrzymujemy gwarantowane 24 zł.
    W opcji PLUS za trafienie trójki wygrywamy 10 zł
Teraz wystarczy podstawić te dane do wzoru na wartość oczekiwaną wyniku gry w lotto - w identyczny sposób jak liczyliśmy to dla gry "sto rzutów monetą".

Np. dla kumulacji wynoszącej podstawowe 2 miliony zł będzie to:

Średnia wygrana = 2.000.000 / 13.983.816  +  7.000 / 54.201  +  250 / 1.032  +  24 / 57  =  0,94 zł.
Koszt gry = 3 zł.
Nasza strata na każdym zakładzie lotto = 3 zł - 0,94 zł = 2,06.

Dla opcji PLUS będzie to:
Średnia wygrana = 1.000.000 / 13.983.816  +  3.500 / 54.201  +  100 / 1.032  +  10 / 57  =  0,41 zł.
Koszt gry = 1 zł.
Nasza strata na każdym zakładzie lotto PLUS = 1 zł - 0,41 zł = 0,59.

Jak interpretować te wyniki? Bardzo prosto.
Zagranie w lotto przy kumulacji wynoszącej podstawowe 2 miliony zł jest równoważne z wyjęciem z naszego portfela 2 zł i 6 groszy i przekazaniem ich Skarbowi Państwa jako dobrowolnego dodatkowego podatku.

Jeśli kupujemy opcję lotto PLUS, wówczas z każdym zakładem przekazujemy Państwu 59 groszy dobrowolnego podatku.

Jeśli czujemy dużą potrzebę zagrania, mamy przeczucie, że szczęście nam sprzyja, chcemy poczuć nadzieję na miliony, to kupmy te emocje w najtańszej ofercie. Kupmy je w jednym zakładzie za 3 zł, na którym stracimy tylko 2,06 zł przy kumulacji wynoszącej 2 miliony albo np. stracimy 1,49 zł przy kumulacji wynoszącej 10 milionów. Jeśli kupimy więcej zakładów, stracimy więcej. Tu rachunek jest już całkiem prosty. 10 zakładów lotto przy kumulacji wynoszącej 2 miliony to strata 10 * 2,06 zł = 20,60 zł. Za to możemy już kupić sobie obiad. A po roku za zaoszczędzone pieniądze możemy kupić sobie np. lodówkę.

Liczmy wartość oczekiwaną gier, w które gramy i nie dajmy się nabrać na gry, które nam się nie opłacają!

Drogi czytelniku, zadasz pytanie, czy ja gram w lotto. Z zasady nie gram! Bo się to nie opłaca. Ale czasami, może raz na miesiąc, może rzadziej, gdy mam nastrój, zamiast niepotrzebnej butelki coli kupię sobie jeden los lotto. Tylko przy dużej kumulacji. Zawsze bez PLUSa. Tylko jeden los. Rzadko. Tracę na tym około 1,49 zł miesięcznie (zakładając 1 grę w miesiącu przy kumulacji 10 milionów). To daje 12 * 1,49 = 17,88 zł mojego dobrowolnego podatku od nadziei na miliony rocznie. Tyle wystarczy :-)



Więcej szczegółów dla wnikliwych:

Przy jakiej kumulacji warto grać w lotto? Pozornie przy około 32 milionach. Wtedy wygrywamy 32.000.000 / 13.983.816 + 7.000 / 54.201 + 250 / 1.032 + 24 / 57 = 3,08. Pozornie jesteśmy nawet na lekkim plusie - płacimy 3 zł za zakład, a wygrywamy 3,08, czyli zyskujemy 8 groszy.

Jednak przy wysokiej kumulacji wpadamy w pułapkę, która sprawia, że naprawdę wciąż tracimy. Zwykle przy dużych kumulacjach znacznie więcej osób gra. Wówczas rośnie ryzyko, że kilka osób trafi szóstkę. Wtedy wygrana (32 milionów) dzielona jest po równo wśród zwycięzców. Jeśli szóstkę trafią dwie osoby, to do wygrania jest już nie 32, a 16 milionów. A przy 16 milionach na każdym zakładzie tracimy już 1,06 zł (ponieważ 3zł - (16.000.000 / 13.983.816 + 7.000 / 54.201 + 250 / 1.032 + 24 / 57) = 1,06).

Grając systemem (skreślając 7,8,9,10,11 lub 12 cyfr) także nie zmieniamy sytuacji. Gra systemem to nic innego jak zawarcie kilku osobnych zakładów, tyle że na jednym kuponie. Za skreślenie 7 cyfr płacimy 7*3=21 zł i mamy 7 osobnych zakładów. Przy kumulacji np. 10 milionów na każdym zakładzie tracimy 1,49. Nasza strata na całym systemowym zakładzie wynosi więc 7 * 1,49 = 10,43 zł. Dla opcji z 8,9,10,11 i 12 skreśleniami sytuacja jest analogiczna. Np. skreślenie 12 liczb (za co musimy zapłacić 2772 zł) to nic innego jak zawarcie 924 osobnych zakładów. Przy kumulacji 10 milionów na każdym tracimy średnio 1,49 zł. Na całym zakładzie systemowym tracimy więc 924 * 1,49 = 1377 zł.

Jeśli więc np. kusi nas przeznaczyć 2772 na ostrą zagrywkę w lotto przy kumulacji 10 milionów, a pod kolekturą spotkamy osobę, która zaproponuje, że jak damy jej 1000 zł gotówką, to ona przekona nas, abyśmy nie grali, to jest to okazja! Warto z niej skorzystać i wyjąć z portfela tysiąc złotych. Gdybyśmy bowiem zagrali, stracimy średnio 1377 zł. Za dobrą radę zapłacimy natomiast tylko 1000 zł. Zaoszczędzimy 377 zł!

Prawdopodobieństwa wygrania w lotto można obliczyć wg poniższych wzorów:






Podziel się swoja opinią:

Twój email:


Twoja wiadomość:









FSE 2004
Publikacja na konferencji Międzynarodowego Stowarzyszenia Badań Kryptologicznych (IACR) FSE 2004


Konferencje Enigma
Publikacje na Krajowej Konferencji Zastosowań Kryptografii Enigma w Warszawie


WCTT
Nagroda Wrocławskiego Centrum Transferu Technologii przy Politechnice Wrocławskiej


Software Developer's Journal
Rekomendowany projekt magazynu Software Developer's Journal


Copyright © 1999-2017 by Bartosz Żółtak & OHTON EXPO Okna Wrocław
Aktualizacja: 29.11.2017